360 градусов это какой угол: Как называется угол 360 градусов если 180градусов называется развернутый

{\circ} = \frac{260}{360} = \frac{7}{9}$ кругов
Объект описал $2\frac{7}{9}$ кругов

Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.

В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.

Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс — х оси)

Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.

Пример 3
1. Найти соответствующий положительный угол
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) — 670°

2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°

2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
220 — 360 = -140°
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°

Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга. {\circ}$
c) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac{2,4 \times 57,3}{1} = 137,52$

Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2\pi$ радиан

Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2\pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2\pi$.

Пример 5
1. Преобразовать $-\frac{3}{4}\pi$ и $-\frac{5}{7}\pi$ в позитивные углы в радианах.

Решение
Прибавляем к углу $2\pi$
$-\frac{3}{4}\pi = -\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{5}{4}\pi = 1\frac{1}{4}\pi$

$-\frac{5}{7}\pi = -\frac{5}{7}\pi + 2\pi = \frac{9}{7}\pi = 1\frac{2}{7}\pi$

Когда объект вращается на угол больший, чем $2\pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2\pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.

Пример 6
1. Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac{7}{2}\pi$

Решение
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что
объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ пол цикла
объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки

c) $\frac{7}{2}\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ равно три четверти цикла $(\frac{1,5\pi}{2\pi}=\frac{3}{4})$
объект прошел один и три четверти цикла против часовой стрелки

Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Сегодня поговорим об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?

Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 грамм. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и этот круг 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет.

Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Вот как это делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12.

Но чем же число 12 лучше 10? Может быть тем, что у числа 12больше делителей? Посмотрите, на экране делители числа 10 и делители числа 12. А у числа 360 делителей еще больше, целых 24. Если в круге 360 градусов, его легко поделить на множество частей. И это не все.

В день равноденствия солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе, и проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца примерно 32 угловых минуты, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью.

– Замечательно! – сказали древние шумеры. – На небе есть подтверждения нашим вычислениям! А вот еще яркая звезда Юпитер!

Оказывается, Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Конечно, не 12, а 11,86 земных лет, но очень уж хотелось астрономам округлить до своего любимого числа.

Посмотрим на луну. Ее каждый найдет на небе, когда она полная, в отличии от Юпитера. Лунный месяц примерно 29,5 земных суток. А если у нас в году будет 12 месяце, а год – 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток). Что-то близкое к числу 360. Астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней и 12 месяцев по 30 дней, но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. Но нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».

Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса.

А что же такое радианы? Что такое угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.

1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам (изображение на экране, 5:20 мин).

А как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему же равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу (5:44). У нас появляется число Пи. Число Пи известно людям с глубокой древности, потому что люди, видя на небе круглое солнце и луну, хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делала круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926… Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.

Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – 2Пиr (6:50).

Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть 2Пиr. Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в 2Пи раз. 360 градусов соответствует 2Пи радианам. 180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан.

Теперь вы знаете, что же такое написано на Тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.

Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!

Подписывайтесь на мой канал!

В градусах

Вы не задавались вопросом, почему в градусах измеряют настолько не связанные между собой вещи — углы и температуру? Скажем больше, градусами меряют плотность жидкости и качество молока и (да, мы не забыли) долю спирта. Gradus — латинское слово, означающее шаг, ступень или степень. Иными словами, у градуса, в отличие от метрических единиц измерения, нет конкретной величины, и он не соответствует никакому эталону, привязанному к тем или иным физическим параметрам. При этом размер градуса можно всякий раз устанавливать по-разному, и ничего не изменится. Кому и зачем могла понадобиться такая единица измерения? Давайте разбираться.

Углы

Со школы все мы знаем, что в окружности содержится ровно 360 градусов. Но почему именно 360? Ответить на этот вопрос можно по-разному.

По одной версии, древние астрономы, скорее всего персы и каппадокийцы, заметили, что солнце оказывается в одной и той же точке небосвода лишь один раз в 365 дней. Они объяснили это тем, что солнце совершает полный оборот вокруг земли за год и возвращается в исходную точку.

Возможно, они округлили число 365, а может, и просто пропустили пять дней, но в итоге заключили: солнце сдвигается на одну трехсот шестидесятую долю окружности в день.

Другая теория объясняет 360-градусный полный угол совсем другими причинами. Шумеры и вавилоняне пользовались (не самой удобной) шестидесятеричной системой счисления. Большие числа они считали шестидесятками (например, число 1020 это 17 шестидесятков).

Знаки шумерской шестидесятиричной системы счисления

Wikimedia commons

Вписав в окружность правильный шестиугольник, вавилоняне заметили, что в круг отлично помещаются шесть равносторонних треугольников. Каждому треугольнику они приписывали по шестидесятку. В итоге, шесть треугольников по шестидесятку дали известные 360 градусов.

Шестидесятизначная система объясняет и деление градуса на 60 минут (‘) и 3600 секунд (“). Знак, которым мы сегодня обозначаем градусы (°), впервые был использован в математике в 1569 году, по аналогии с верхним штриховым индексом для минут и секунд.

Независимо от истории, полный угол в 360 градусов — лучший вариант из возможных, ведь 360 — сверхсоставное число (натуральное число, с бoльшим числом делителей, чем все предыдущие). Оно делится на все числа от 1 до 10 за исключением семи, а еще и на: 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180. На такое количество частей вы можете разделить окружность простым вычислением в уме.

Геометрические градусы прошли проверку временем и оказались самой удобной единицей измерения углов. Но есть и другие.

Так, если у вас есть инженерный калькулятор, то, переключаясь между градусами (DEG) и радианами (RAD), вы, возможно, попадали в режим GRAD — это исчисление в градах (или гонах). Один град — это одна сотая часть прямого угла, а значит, полный угол равен 400 град.

Такая единица измерения появилась во времена Французской революции вместе с метрической системой и быстро всех запутала. Кроме проблем с названием, — в некоторых странах grad обозначали привычные градусы, — возникли трудности и с вычислением.

Например, как известно, углы равностороннего треугольника равны друг другу и составляют 60 градусов. Переведем это в грады — 66 целых и шесть в периоде, ужасно неудобно.

В отличие от метрической системы, без которой трудно представить нашу жизнь, вычисления в градах оказались не самыми простыми, сейчас их практически нигде не используют.

Но свой след в истории они оставили — именно благодаря градам стоградусная температурная шкала получила название шкалы Цельсия.

Температура

Как ни странно, температурные шкалы появились гораздо раньше термометров. Создателем первой шкалы можно считать Галена — древнеримского медика, хирурга и философа.

Гален утверждал, что существует некая нейтральная температура — он определил ее как температуру смеси одинакового количества кипящей воды и льда. От нейтральной температуры он отсчитал по четыре шага (ступени) в сторону тепла и холода.

Шведский теолог и физик Иоганн Хаслер на основании работ Галена построил таблицу температуры, опубликованную на страницах труда «De Logistica Medica problematis novem» в 1578 году. Он отложил те же четыре шага тепла и холода по разные стороны от нейтральной температуры, а также заметил, что шкалу можно заменить на последовательность чисел от единицы до девяти.

В таблице значения температуры называются просто «номерами», но в тексте Хаслер использует слово «градус». Нейтральная температура в его системе будет соответствовать числу пять.

Таблица температуры Иоганна Хаслера. Слева направо: первый столбец — шкала Хаслера, второй — шкала Галена, следующие столбцы связаны с рецептами лекарств

Wikimedia commons

Первое устройство, похожее на современный термометр, создал Галилео Галилей приблизительно в 1597 году. Вслед за этим ученые почти 200 лет искали универсальную, удобную и точную шкалу температур.

Например, в 1701 году Исаак Ньютон в опубликованной анонимно работе (в ней он уже использует слово gradus для обозначения единиц тепла) предлагат 18 реперных точек, часть из которых формирует геометрическую, а другая — арифметическую прогрессии. В градусах Ньютона точка замерзания воды равна 0 градусов, а температура человеческого тела — 12 градусов.

В том же году известный астроном Оле Ремер (первым измеривший скорость света) предложил свой вариант. Нулем своей шкалы он выбрал температуру соленой воды со льдом, а вот температуру кипения воды — снова это магическое число — он обозначил как 60 градусов. Эту шкалу позаимствовал знакомый Ремера, Габриэль Фаренгейт.

Фаренгейт избавился от неудобных дробей, возникавших при измерении температуры человеческого тела (22,5 градуса) и замерзания пресной воды (7,5 градуса), заменив их на 24 и 8 градусов соответственно. Вода стала кипеть при 64 градусах Фаренгейта.

Некоторое время он производил термометры с такой шкалой, но потом, в 1724 году, умножил ее на 4. По одной версии, Фаренгейт просто хотел сделать шкалу точнее, поэтому увеличил количество рисок на градуснике, по другой — он сделал это, чтобы увеличение температуры на один Фаренгейт приводило к увеличению объема ртути ровно на одну десятитысячную.

Так появилась знаменитая шкала Фаренгейта, которой люди пользуются и сегодня. Некоторое время она была лучшей из возможных, но затем ей смену пришел более совершенный вариант. Хотя жители США навряд ли согласились бы с нами.

Жозеф Николя Делиль пошел несколько другим путем. Он выбрал всего одну реперную точку, температуру кипения воды, и обозначил ее за ноль. Градуировать шкалу он решил по расширению ртути в термометре — понижение температуры, приводящее к уменьшению объема ртути на одну стотысячную, Делиль обозначил за один градус.

Температура замерзания воды в таком случае — 2400 градусов, шкала оказалась излишне мелкой, поэтому в 1738 году Иосия Вейтбрехт изменил ее. Он задал температуру замерзания воды в 150 градусов.

Такие термометры стали удобными и получили широкое распространение. Ими примерно сто лет пользовались в России, Ломоносов использовал термометр Делиля (правда, перевернув шкалу) в своих опытах.

Только в этот момент на сцене появляется Андерс Цельсий. В 1741 году он наносит на термометр Делиля свою шкалу — 0 градусов в точке кипения и 100 градусов в точке замерзания воды. Перевернули шкалу (скорее всего, это сделал Карл Линней) через год после смерти Цельсия (он умер в 1744 году от туберкулеза).

Кстати, к 1745 году уже существовал термометр с нулем в точке замерзания и сотней градусов в точке кипения воды. Он называется термометром Лиона, его изобретатель — французский физик Жан-Пьер Кристен.

Заслуга Цельсия в другом — он провел эксперименты, продемонстрировавшие, что температура плавления льда практически не зависит от давления. Более того, он с высокой точностью определил, как температура кипения воды изменяется в зависимости от атмосферного давления.

Цельсий предложил калибровать ноль своей температурной шкалы (в тот момент, точку кипения воды) по атмосферному давлению, определить которое можно по среднему уровню моря.

Эта калибровка наконец сделала термометры по-настоящему универсальными. Вероятно, именно поэтому прогноз погоды, который вы смотрели сегодня утром, был в градусах Цельсия.

Но стоградусную температурную шкалу назвали в честь Цельсия только в 1948 году. До этого она так и называлась — стоградусной температурной (centigrade temperature scale). Но во французском (где использовали грады) термин centigrade уже был занят в геометрии.

Чтобы избежать путаницы, Международное бюро мер и весов переименовало шкалу в честь Андерса Цельсия. Так градусы температуры стали градусами Цельсия.

Диаграмма перевода температур, на которой указаны основные температурные шкалы

Wikimedia commons

Шкала Цельсия оказалась идеальной для применения в быту, но физики остались ею недовольны.

Привязка реперных точек к свойствам воды очень удобна для экспериментов, ведь воду можно найти практически где угодно. А вот для теоретических вычислений, например, связи энергии молекул с температурой, требовалось найти абсолютную шкалу.

Ее создал Уильям Томсон в 1848 году — нулевая точка его шкалы соответствует абсолютному нулю, а цена деления равна градусу Цельсия. Новую шкалу назвали в честь Томсона (ставшего лордом Кельвином), а градус Цельсия в ней превратился в Кельвин. Но почему Кельвин — это не градус?

Дело в том, что шкала Кельвина — это шкала абсолютной температуры. Все шкалы, о которых шла речь выше — произвольные, ведь для их градуировки были выбраны произвольные точки.

Шкалу Кельвина отсчитывают от абсолютного нуля — минимального предела температуры во Вселенной, она тесно связана с энергией молекул через постоянную Больцмана. Чтобы подчернуть, что речь идет об абсолютной температуре, Кельвин не называют градусом.

Цвет

Получается, температура в Кельвинах нужна только физикам? Нет, вы наверняка пользовались Кельвинами в бытовом отделе супермаркета, просто не подозревали об этом.

Выбирая оттенок света лампочки, мы обращаем внимание на цветовую температуру (например, 2800К), она измеряется в Кельвинах.

Такой свет будет испускать абсолютно черное тело, нагретое до указанной температуры. Так цвет измеряют температурой, а не в длинной волны, ведь излучение нагретого тела, как и лампочки, не монохроматично (состоит из множества частот).

Алкоголь

Из бытового отдела переместимся в отдел алкоголя и снова увидим там градусы. А точнее — объемные проценты, называемые градусами.

В России крепость алкогольных напитков в градусах Гесса стали измерять с 1847 года, когда академик Герман Гесс выпустил книгу «Учет спиртов».

В этой книге Гесс приводил спиртовые таблицы и инструкции по использованию спиртомера. А сам спиртомер Гесса показывал «не содержание алкоголя, а число ведер воды, имеющей температуру 12,44 Р[еомюра], которое надобно добавить к 100 ведрам испытываемого спирта, чтобы получить полугар, то есть такую смесь, которая содержит 38% алкоголя». Например, к 100 ведрам водки нужно добавить примерно пять ведер воды для получения полугара.

Официально перестали оценивать крепость в градусах Гесса уже в 1863 году, когда на их место пришли объемные проценты — отношение объема этилового спирта к общему объему напитка. А слово «градус» осталось.

Кстати, английское degree (градус) не имеет никакого отношения к алкоголю, а вот во Франции скажут, что в коньяке 40 градусов Гей-Люссака.

Плотность, кислотность молока

До середины XX века в химии и фармакологии широко использовались градусы Боме, предложенные Антуаном Боме в 1768 году для измерения плотности жидкости.

В физике и химии градусы Боме были вытеснены нынешней единицей СИ — килограммом на метр в кубе, но их продолжают использовать в пивоварении, переработке сахарной свеклы и других областях.

Кислотность молока также измеряют в градусах — в градусах Тернера. Это число миллилитров децинормального (0,1 н.) раствора гидроксида натрия, необходимое для нейтрализации 100 миллилитров молока. Молоко высшего сорта должно обладать градусом Тернера в пределах от 16 до 18.

Олег Макаров

Zero To Hero

Совершенно очевидно, что в круге 360 градусов, не так ли?

А вот и нет. Большинство из нас совершенно не понимают, почему в круге 360 градусов. Мы запоминаем это магическое число как «размер окружности», а затем, изучая физику или высшую математику, удивляемся всем этим «радианам».

«Радианы делают математику проще!» — так говорят математики; вот бы они еще научились конкретнее объяснять, в чем заключается простота (чтобы и мы чувствовали себя в дискуссиях на тему рядов Тейлора, как рыба в воде). Сегодня мы откроем, что на самом деле представляют собой радианы, и поймем, почему именно они делают математику проще.

Откуда берутся градусы?

До чисел и языка слов у нас были звезды. Древние цивилизации использовали астрономию для определения времен года, предсказания будущего и задабривания богов (если уж приносить в жертву богам людей, то лучше делать это в правильное время).

И как всё это относится к углам? Попробуйте разгадать: не странно ли то, что в окружности 360 градусов, а в году 365 дней? И с чего это вдруг созвездия в течение года совершают оборот на небосклоне?

Спорим, вы не сможете определить время года по картине ночного неба? Вот созвездие Большой Медведицы, видимое в 2008 году из Нью-Йорка:

Созвездия каждую ночь немного продвигаются по кругу. Если Вы будете смотреть на небо в одно и то же время (например, в полночь), то заметите, что созвездия совершают полный круг по небу в течение года. Вот теория о возникновении градусов:

  • Люди заметили, что за год созвездия совершали полный круг
  • Каждый день они отодвигались совсем на немножно (это и есть «градус»)
  • Поскольку в году около 360 дней, то и в круге было 360 градусов.

Но, есть одно но… Почему бы не сделать 365 градусов в окружности?

Простим древним эту погрешность: они пользовались солнечными часами, и не знали, что за год должно было набежать ровно 365.242199 градусов или дней, как вам теперь известно.

360 — достаточно точная цифра для тех времен. Она отлично согласуется с Вавилонской 60-ричной системой счисления, а также отлично делится (на 2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 30, 45, 90… ну вы поняли).

Математические расчеты по Солнцу выглядят вполне уместными

Земле везет: ~360 — отличное количество дней в году. Но эта цифра выглядит довольно субъективно: на Марсе у нас было бы ~680 градусов в окружности, так как марсианский год длится дольше (и сам марсианский день также длится дольше, как вы понимаете). В некоторых странах Европы люди пользуются градами, при которых круг приходится делить на 400 частей.

Многие из объяснений сходятся к следующему: «Ну, градус — довольно субъективная мера, но нам нужно было выбрать какое-то число». Не сейчас: далее мы увидим, что же на самом деле скрывают градусы.

Радианы спорят с градусами

Градус — это то, насколько мне, стоя в центре стадиона, приходится повернуть голову, чтобы увидеть человека, бегущего по беговой дорожке.

Представьте, что вы заметили друга, бегущего по огромному кругу:
— Привет, как далеко ты добежал?
— Ну, пробежался я нехило, около 10 километров.
— Ты что, совсем? Как сильно я повернул свою голову, чтобы тебя увидеть?
— Что?
— Я поясню словами покороче для непонятливых. Я в центре круга. Ты бежал вокруг. Насколько… я… повернул… свою… голову?
— Придурок.

Эгоистично, не так ли? Вот как вся эта математика построена! Мы пишем уравнения по типу «Слушай, как сильно я повернул свою голову, чтобы увидеть движущуюся планету/маятник/колесо?» Я уверен, что вы никогда не думали о том, что чувствует, о чем мечтает и на что надеется маятник. Это эгоистичный подход. Не кажется ли вам, что уравнения должны быть простыми не только для зрителя, но и для самого бегуна?

Радианы: скажи эгоизму нет

Многие вещи из физики (да и из жизни!) заставляет нас вылезти из своей привычной системы координат и посмотреть на вещи с другой точки. Вместо того, чтобы вычислять поворот своей головы, задумайтесь, как далеко продвинулся бегун.

Градусы измеряют уголы по повороту головы. А радианы измеряют углы по пройденной дистанции.

Но само по себе расстояние не особо полезно, так как дистанция в 10 км может состоять из разного количества кругов, всё зависит от длины самого круга. Так что мы делим пройденную дистанцию на радиус круга, чтобы получить приведенный угол:

Вы часто будете встречать эту же формулу в таком виде:

угол в радианах (тета) — это длина дуги (s), поделенная на радиус (r).

Окружность описывает 360 градусов или 2π радиан — пройти весь круг будет 2*π* r / r. То есть, радиан — это примерно 360 /(2 * π) или 57.3 градусов.

Надеюсь, вы не будете думать, как я: «Ну вот, еще одна непонятная единица. 57.3 — такое странное число». Оно странное только потому, что вы всё еще думаете о себе!

Пройти 1 радиан (единицу) — вполне себе нормальная дистанция для путешествия.

Другими словами, наш «чистый, ровный угол в 90°» означает то же, что и непонятные π/2 единицы для пройденного бегуном пути. Подумайте об этом: «Эй, парень, а не пробежишь ли ты для меня еще 90°? Сколько это? А, ну да, для тебя это будет π/2 километра». Для бегуна дистанция в градусах выглядит также странно, как и поворот в радианах для зрителя.

Радианы в математике — это как бы поставить себя на место другого: передвинуть свою точку зрения с поворота головы на движение бегуна.

Что в имени тебе моем?

Радианы — это единица измерения движения по кругу, характеризуемого радиусом. Я думаю, слово «радиан» иллюстрирует как раз связь с радиусом движения.

По сути, радианы — это такие же числа, как 1.5 или 73, без каких либо единиц измерения (в формуле «радианы = пройденный путь / радиус» длина делится на длину, так что любые единицы измерения сокращаются).

Но, говоря практическим языком, мы не математические роботы, так что проще думать о радиане как о «пути», пройденному по единичной окружности.

Использование радиан

Я пока и сам привыкаю думать радианами. Но мы уже довольно близко подобрались к понятию «дистанции бегуна»:

  • Мы используем «вращений в минуту», а не «градусов в секунду» при измерении определенных угловых скоростей. Это ближе к точке зрения бегуна («Как много кругов он уже намотал?»)
  • Когда спутник движется вокруг Земли, мы понимаем его скорость как «километров в час», а не «градусов в час». Разделите эту скорость на расстояние от земли к спутнику, и вы получите орбитальную скорость в радианах в час.
  • Синус, эта замечательная функция, определяется в радианах, как:

Эта формула работает, только если х представлен в радианах! Почему? Синус непосредственно связан с пройденным путем, а не с поворотом головы. Но мы отложим эту беседу до следующего раза.

Пример 1: Колеса автобуса

Давайте попробуем разобрать реальный пример: у вас есть автобус с колесами, радиус которых 2 метра (это автобус в стиле монстр-трак). Я скажу, как быстро вращаются колеса, а вы мне скажете, как быстро едет автобус. Готовы? «Колеса вращаются со скоростью 2000 градусов в секунду». Вы думаете:

  • Хорошо, колеса вращаются на 2000 градусов в секунду. Это значит, они делают 2000/360 или 5 и 5/9 оборота в секунду. Длина окружности = 2*π*r, так что автобус движется со скоростью, эм, 2 * 3.14 * 5 и 5/9… где же мой калькулятор…

«Колеса проходят 6 радиан в секунду». Вы подумаете:

  • Радианы — это длина единичной окружности, мы просто масштабируем эту величину согласно реальному радиусу, чтобы рассчитать, как далеко мы уедем. 6 * 2 = 12 метров в секунду. Следующий вопрос.

Вау! Никаких сумасшедших формул, никакого π — просто умножаем, чтобы конвертировать угловую скорость в линейную. А всё потому, что радианы говорят на языке движущегося тела.

Обратное действие также простое. Предположим, что мы несёмся 30 метров в секунду по автостраде (108 км/ч) на 24-дюймовых колесах (радиус которых равен 30 см). Как быстро вращаются колеса?

Ну, 30 метров в секунду / 0.3 м радиуса = 100 радианов в секунду.

Это было просто.

Пример 2: sin(x)

Пришло время для примера помощнее. Выберите число градусов (х) и вычислите значение sin(x) в калькуляторе:

Когда вы берете х очень маленьким, вроде 0.01, sin(x) тоже становится маленьким. И отношение sin(x)/x будет около 0.017 — что это означает? И еще страннее, что означает деление или умножение на градусы? Можно ли иметь квадратные или кубические градусы?

Радианы нас спасут. Зная, что они отвечают за пройденную дистанцию (это не просто пропорция!), мы можем интерпретировать уравнение таким образом:

  • х — это то, как далеко вы прошли по кругу
  • sin(x) — это то, как высоко вы взобрались по нему
  • Так что sin(x)/x — это отношение того, как высоко вы находитесь, к тому, как далеко вы прошли: количество энергии, которое ушло в направлении «вверх». Если вы двигались вертикально, то это отношение будет равно 100%. Если вы двигались горизонтально, то равенство будет давать 0%.

Когда что-то пододвигается на крошечное расстояние, как 0 или 1 градус с прежнего места, оно движется практически вверх. Если вы шагнете еще на меньшее расстояние, например с 0 до 0.00001 градуса, то вы действительно пройдете прямо вверх. Пройденное расстояние (х) очень близко к высоте (sin(x)).

Чем меньше х, тем ближе отношение к 100% — больше движения происходит вверх.

Радианы помогают увидеть, интуитивно, почему sin(x)/x стремится к 1 по мере уменьшения х. Мы просто топчемся на крошечном отрезке пути вверх. Между прочим, это также поясняет, почему sin(x) ~ x для маленьких чисел.

Конечно, вы можете точно доказать это с помощью калькулятора, но мышление радианами помогает вам это понять.

Запомните, эти связи работают только при измерении углов радианами. С градусами вы сравниваете высоты на окружности (sin(x)) с тем, насколько какой-то зритель поверную свою голову (х градусов).

Так в чем же смысл?

Градусы занимают свое место в нашей жизни. Нам ведь важно знать, насколько надо повернуть телескоп, развернуть сноуборд или покрутить рулем? По законам природы мы наблюдаем за тем, как движутся другие. И радианы больше подходят тем, кто движется, чем тем, кто за ними наблюдает. У меня ушло много лет на то, чтобы понять:

  • Градусы выбраны произвольно, так как они основываются на солнце (365 дней ~ 360 градусов), но они как бы идут от обратного, потому что описывают процессы с точки зрения наблюдателя.
  • Радианы описывают движение с точки зрения самих его участников, и поэтому «всё стает на свои места». Конвертировать угловую скорость в линейную довольно просто, и идеи вроде sin(x)/x приобретают смысл.

Даже углы можно рассматривать с более, чем одной точки зрения. Понимание радиан делают математические и физические формулы более осмысленными.

Приятных вычислений!

Перевод статьи «Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians»

По следам вавилонян, или почему в окружности 360 градусов? // Наталья Карпушина ≪ ∀ x, y, z

Знаете ли вы, почему в окружности 360 градусов, а не 180 или, скажем, не 300? Откуда пошла традиция делить окружность на равные части и почему было выбрано именно такое их число? Оказывается, этому делению мы обязаны вавилонянам. Согласно их календарю, продолжительность года составляла 360 дней — именно столько раз, по наблюдениям древних астрономов, солнечный диск укладывался на годичном пути светила. Иными словами, за каждые сутки солнце делало один «шаг». Поэтому вавилоняне и разделили окружность на 360 равных частей, каждую из которых называют градусом (от лат. gradus — шаг, ступень). Считается, что они же изобрели простейший инструмент для измерения углов − транспортир. Но вот вопрос: как же древние сумели разделить окружность на равные части, не владея техникой геометрических построений и располагая лишь примитивными инструментами? Загадка…

С подобной проблемой однажды столкнулся инженер Сайрес Смит, герой романа Жюля Верна «Таинственный остров». Чтобы определить величину острого угла, образованного ножками самодельного циркуля, он «измерил этот угол по окружности, разделённой на триста шестьдесят равных частей; угол равнялся десяти градусам». Вот, собственно, и всё, что сообщает о решении данной задачи Жюль Верн. Непонятно, зачем для измерения острого угла потребовалось делить на части всю окружность, когда достаточно рассмотреть её четверть, и уж совсем неясно, как удалось добиться их равенства. Можно лишь предположить, что инженер выполнял построения на земле с помощью подручных средств, как он не раз поступал при решении других практических задач, если те требовали знания геометрии.

Сначала прикинем решение на бумаге. Для того чтобы разделить окружность на равные части, пригодится диск, край которого представляет собой окружность фиксированной длины l. Если катить диск по нарисованной на земле окружности длиной L = nl, где n = 2, 3, 4 …, то через n оборотов он обежит линию и вернётся в исходную точку. Пришло время проявить смекалку: сделаем на краю диска «острый выступ», оставляющий на земле отметку после каждого оборота. С его помощью мы разметим окружность, то есть разобьём на равные части. Допустим, нужно разделить окружность на дуги по 10°. В таком случае n = 360° : 10° = 36. Так как L превосходит l в 36 раз, то из соображений подобия и радиус R нарисованной на земле окружности должен быть во столько же раз больше радиуса r диска.

Теперь можно переходить к конкретным действиям. Измерим радиус диска. Пусть для определённости r = 5 см, тогда R = 180 см. Сделаем в диске отверстие по линии радиуса и вставим в него, например, кусочек спицы так, чтобы острый конец чуть торчал наружу. Отмерим кусок верёвки длиной 180 см и привяжем к его концам по колышку. Один колышек вобьём в землю, затем натянем верёвку и, удерживая её в таком состоянии, очертим другим колышком окружность. Наконец, прокатим по нарисованной линии диск; 36 меток (следов спицы) разделят окружность на дуги по 10° в каждой. Задача решена. Ясно, что в общем случае, подбирая подходящую длину радиуса R и количество «зарубок» на диске, легко разделить окружность на нужное число равных частей.

Задачу можно решить и по-другому, как делали древние египтяне, строя прямой угол при помощи верёвки, разделённой узелками на равные части. За единицу измерения примем длину диска. Обмотаем верёвку вокруг диска и завяжем на конце отмеренного отрезка узелок. Проделаем ту же операцию необходимое число раз. Затем положим размеченную таким образом верёвку поверх нарисованной на земле окружности (узелки соответствуют меткам, которые оставил бы на земле катящийся диск в первом способе построения). В данном случае при вычерчивании окружности можно обойтись без рулетки: радиус R окружности получим, отложив на верёвке диаметр диска n/2 раз (при нечётном n придётся добавить длину радиуса).

Проигрывая в точности построений, мы вместе с тем выигрываем в их простоте и доступности, что на практике зачастую ценится больше. Добавим, что верёвка с узелками — это примитивный циркуль, который используется до сих пор, когда надо провести на земле дугу большого радиуса, например при разметке спортивной арены, или очертить круг при разбивке клумбы.

Наталья Карпушина

«Наука и жизнь» №6 2013

По следам вавилонян | Наука и жизнь

Рисунoк Натальи Буш.

Знаете ли вы, почему в окружности 360 градусов, а не 180 или, скажем, не 300? Откуда пошла традиция делить окружность на равные части и почему было выбрано именно такое их число? Оказывается, этому делению мы обязаны вавилонянам. Согласно их календарю, продолжительность года составляла 360 дней — именно столько раз, по наблюдениям древних астрономов, солнечный диск укладывался на годичном пути светила. Иными словами, за каждые сутки солнце делало один «шаг». Поэтому вавилоняне и разделили окружность на 360 равных частей, каждую из которых называют градусом (от лат. gradus — шаг, ступень). Считается, что они же изобрели простейший инструмент для измерения углов − транспортир. Но вот вопрос: как же древние сумели разделить окружность на равные части, не владея техникой геометрических построений и располагая лишь примитивными инструментами? Загадка…


С подобной проблемой однажды столкнулся инженер Сайрес Смит, герой романа Жюля Верна «Таинственный остров». Чтобы определить величину острого угла, образованного ножками самодельного циркуля, он «измерил этот угол по окружности, разделённой на триста шестьдесят равных частей; угол равнялся десяти градусам». Вот, собственно, и всё, что сообщает о решении данной задачи Жюль Верн. Непонятно, зачем для измерения острого угла потребовалось делить на части всю окружность, когда достаточно рассмотреть её четверть, и уж совсем неясно, как удалось добиться их равенства. Можно лишь предположить, что инженер выполнял построения на земле с помощью подручных средств, как он не раз поступал при решении других практических задач, если те требовали знания геометрии.


Теперь представьте себя на месте Сайреса Смита. Как бы вы разделили окружность на равные части, имея в распоряжении колышки, моток верёвки, деревянный диск с отмеченным центром и рулетку? А может быть, обойдётесь без рулетки? Помните: в практической геометрии смекалка и умение оценить соотношение между величинами порой важнее владения инструментами, которых может и вовсе не оказаться под рукой.

(Ответ в следующем номере.)

Виды углов: острый, прямой, тупой, развёрнутый, выпуклый и полный

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

  • Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (<90°).
  • Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол обозначается буквой  d  и равен  90°.

    Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым углом. Прямой угол обычно обозначается не дугой, а уголком:



    ∠AOC  и  ∠COB  — прямые углы. Общая сторона прямых углов  OC  называется перпендикуляром к прямой  AB, а точка  O  — основанием перпендикуляра.

    Сумма двух прямых углов равна развёрнутому углу, значит, прямой угол равен половине развёрнутого угла.

  • Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого:

    90° < тупой угол < 180°.

  • Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными лучами.

    Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов или, короче, двум прямым углам. Следовательно, развёрнутый угол равен  180°  или  2d.

    Все развёрнутые углы равны между собой.

  • Выпуклый угол — это угол, который больше развёрнутого угла, но меньше полного:

    180° < выпуклый угол < 360°.

  • Полный угол — это угол, обе стороны которого совпадают с одним лучом.

    Полный угол равен сумме четырёх прямых углов, то есть  4d (360°).

Прилежащие углы

Прилежащие углы — это пара углов, имеющих общую вершину и общую сторону, другие стороны которых лежат по разные стороны от общей стороны.

∠AOB  и  ∠BOC  — прилежащие углы,  O  — общая вершина,  OB  — общая сторона.

Если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два угла, то образованные углы будут прилежащими.

Угол, разделённый лучом, будет называться суммой полученных углов, например угол  AOB  является суммой углов  AOC  и  COB:

∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

Каждый из прилежащих углов,  ∠AOC  и  ∠COB, называется разностью углов  AOB  и другого прилежащего, то есть:

∠AOC = ∠AOB — ∠COB,

∠COB = ∠AOB — ∠AOC.

углов и градусов. Объяснение 1. с 7. по 9. класс.

Геометрия — углы и градусы. Объяснение 1. 7. по 9. класс.

Июль 2003 г. Rasmus ehf.

Геометрия
— Углы
и степени

Урок 1.

.




Углы измеряются в градусах. А
круг (полный оборот) составляет 360 градусов.


Посмотрите на 1/4 круга.


Некоторые общие углы

А
Угол 90 называется прямым углом .

Угол между
90 и 180 называется тупым углом .

Угол, который
меньше 90 называется острым углом .


Подробнее об углах, градусах
и аналогичные цифры

Половина
окружность
составляет 180 градусов (прямой угол).

Дополнительный
angles
— это углы, которые имеют общее плечо и имеют сумму 180 градусов. Сумма зеленого и синего углов равна 180 градусам.

Пример:

Сколько градусов составляет угол X?

Вычислить:


Аналогичные цифры

Фигурки
с точно такой же формой находятся аналогичных фигур .Соответствующие углы в
одинаковые треугольники равны по размеру. Это правило относится ко всем
полигоны.


Похожие цифры

Похожие цифры

Похожие цифры

не похоже

не похоже


Суммы углов


Попрактикуйтесь в этих методах и попробуйте Тест 1 по геометрии.Не забудьте использовать Контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Почему геометрия не подвергалась метрике? Почему 360 градусов вместо 1, 10, 100 или даже 1000? | Примечания и запросы

СПЕКУЛЯТИВНАЯ НАУКА

Почему геометрия не подвергалась «метрике»? Почему 360 градусов вместо 1, 10, 100 или даже 1000?

Дэвид Хьюз, Торонто, Канада

  • На самом деле градусы были «метрическими», в инженерных расчетах углы часто измеряются в радианах, при этом длина окружности выражается как 2Π радиана.

    Угловые измерения в градусах или радианах даны относительно окружности, 360 градусов или 2 радиана Пи представляют собой один полный оборот.
    Если бы нам пришлось разделить круг на что-либо, кроме 360 градусов, нам пришлось бы изменить и наши календари — древние греки пришли к выводу, что в году 360 дней, и, следовательно, мы продвигаемся вокруг Солнца на один градус за каждый. день — они были достаточно близки, учитывая, что работали только над наблюдением!

    Питер Кларк, Кембридж, Великобритания

  • Мы унаследовали 360 градусов от вавилонян, но многие древние общества очень интересовались астрономией, а в некоторых (мегалитическая Британия?) Было 366 градусов в круге.Это логично, поскольку Земля вращается вокруг своей оси 366 раз в год. Их измерения кажутся взаимосвязанными, а не произвольными, как метрически разделенный круг. Вавилоняне, вероятно, сократили это число до 360, поскольку оно намного легче делится на множество факторов.

    Vivienne, Лондон, Великобритания

  • И вавилоняне, и китайцы использовали шестидесятеричную систему, что означает, что у них было 59 цифр, а не 9 (ноль был изобретен намного позже). Хотя у них была цифра 10, поэтому их число 11 по-прежнему записывалось как цифра 10 рядом с цифрой 1.Происхождение этого точно не известно, хотя очевидно, что на них повлияла астрономия и тот факт, что в году (почти) 360 дней. Они также придумали шестьдесят минут в час, 24 часа в сутки. Это всего лишь еще один пример снижения школьных стандартов: мы ожидаем, что школьники будут знать только 9 цифр (и ноль)

    Камьяр, Самос, Греция

  • 360 имеет намного больше делителей, чем 10, 100, 1000 и т. Д. Поэтому круг легче разделить на множество различных равных частей — 2,3,4,5,6,8,9,10…… Попробуйте сделать это с помощью 100 или 1000.

    Lewis, London, UK

  • Использование 400 угольников вместо 360 градусов также можно найти при топографической съемке. Некоторые теодолиты могут иметь градусы или углы, и многие теодолиты, которые были изготовлены в бывшем восточном блоке, использовали эту систему.

    Hamish, Ипсвич, Великобритания

Добавьте свой ответ

Математическое выражение: Полный угол: Угол 360 градусов

Расшифровка стенограммы видео

00:00:03.140
В этом уроке мы узнаем об этом полном ракурсе.

00: 00: 08.090
Давайте посмотрим на этот угол отражения.

00: 00: 12.200
На предыдущем уроке мы узнали, что угол рефлекса всегда больше 180 градусов и меньше 360 градусов.

00: 00: 23.050
Что произойдет, если этот угол станет 360 градусов?

00: 00: 29.050
Когда угол становится 360 градусов, он называется полным углом.

00:00:36.030
Подчеркнем, эт. угол — это угол, равный 360 градусам.

00: 00: 44.090
Давайте посмотрим на несколько примеров.

00: 00: 48. 040
Это эт. угол?

00:00:51.230
Да! Это.

00: 00: 56.080
Как насчет этого угла?

00: 01: 01.010
Понятно, что этот угол не равен 360 градусам.

00:01:06.160
Следовательно, это не полный угол.

00: 01: 11.080
На этом урок закончен.

Измерение углов

Измерение углов

Понятие угла

Понятие угла — одно из важнейших понятий в геометрии.Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов.

Есть две обычно используемые единицы измерения углов. Более знакомая единица измерения — это градусы. Круг делится на 360 равных градусов, так что прямой угол равен 90 °. Пока мы будем рассматривать только углы от 0 ° до 360 °, но позже, в разделе о тригонометрических функциях, мы будем рассматривать углы больше 360 ° и отрицательные углы.

Градусы можно разделить на минуты и секунды, но это деление не так универсально, как раньше. Каждый градус делится на 60 равных частей, называемых минутами. Итак, семь с половиной градусов можно назвать 7 градусами и 30 минутами, записанными как 7 ° 30 ‘. Каждая минута далее делится на 60 равных частей, называемых секундами, и, например, 2 градуса 5 минут 30 секунд записывается как 2 ° 5 ’30 «. Деление градусов на минуты и угловые секунды аналогично делению часов на минуты и секунды времени.

Части градуса теперь обычно обозначаются десятичной дробью. Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут как 7,5 & deg.

Когда один угол нарисован на плоскости xy для анализа, мы будем рисовать его в стандартном положении с вершиной в начале координат (0,0), одной стороной угла по оси x и другой. сторона над осью абсцисс.

Радианы

Другое распространенное измерение углов — радианы.Для этого измерения рассмотрим единичный круг (круг радиуса 1), центр которого является вершиной рассматриваемого угла. Затем угол отсекает дугу окружности, и длина этой дуги является мерой угла в радианах. Легко переходить между градусами и радианами. Окружность всего круга равна 2π, поэтому 360 ° равняется 2π радианам. Следовательно,

1 ° равняется π / 180 радиан

и

1 радиан равен 180 / π градусов

Большинство калькуляторов можно настроить на использование углов, измеряемых в градусах или радианах.Убедитесь, что вы знаете, в каком режиме работает ваш калькулятор.

Краткая заметка по истории радианов

Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своих «Элементах алгебры» прямо сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией.

е = cos θ + i sin θ

где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.

Радианы и длина дуги

Альтернативное определение радианов иногда дается в виде отношения.Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ, возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус круга равен 2, тогда мера в радианах равна 1,5.

Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга.В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r, умноженному на угол θ, где угол измеряется в радианах.

Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.

Радианы и площадь сектора

Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга, соединяющей их концы.Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и углу θ между радиусами, когда он измеряется в радианах. Поскольку площадь всей окружности равна πr 2 , а сектор соответствует всей окружности, так как угол θ равен 2π, поэтому

Углы общие

Ниже приведена таблица общих углов как при измерении в градусах, так и при измерении радиан. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в единицах π. Его, конечно, можно было бы указать в десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π.
.

Уголок градусов Радианы
90 ° π / 2
60 ° π / 3
45 ° π / 4
30 ° π / 6
Упражнения

Эдвин С. Кроули написал книгу «Тысяча упражнений по плоской и сферической тригонометрии», Пенсильванский университет, Филадельфия, 1914 г.Задачи в этом коротком курсе взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). Он давал свои задачи с точностью до пяти знаков, поэтому студентам приходилось работать некоторое время, чтобы их решить, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помощь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan. Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.

Кроули использовал не десятичные дроби для дробей градуса, а минуты и секунды.

Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.

1. Выразите следующие углы в радианах.

(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.

(б). 36 ° 12 ‘.

2. Уменьшите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.
(а). 0,47623.

(б). 0,25412.

3. Зная угол a и радиус r, найти длину продолжающейся дуги.

(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.

(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.

4. Зная длину дуги l и радиус r, найти угол в центре.

(а). l = 0,16296, r = 12,587.

(б). l = 1,3672, r = 1,2978.

5. Зная длину дуги l и угол a, который она образует в центре, найти радиус.

(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.

(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.

6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус составляет 3200 футов.

7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.

9. Насколько можно изменить широту, пройдя одну милю на север, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в одну секунду?

14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги равна 1.742 метра. Какой угол он образует в центре?

23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут. Как далеко это?

Подсказки

1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12.467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180. Итак, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд.Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 дюймов.

3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.

4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Их можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

5. Как упоминалось выше, измерение в радианах, умноженное на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, но сначала необходимо преобразовать из градуса в радиан. Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразуйте угол a в радианы, а затем разделите его на длину l дуги.

6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.

7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус до внешнего рельса 2102.5, а радиус до внутреннего рельса составляет 2097,5.

9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю. Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)

10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956.Какая длина дуги?

14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус. Радианы легко преобразовать в градусы.

23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко). Длина дуги составляет 50 футов.Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

Ответы

1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».

3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.

(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535
радианы = 60,360 ° = 60 ° 21.6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.

5. (а). 1 / а = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.

(б). 1 / а = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.

6. ra = (3200 футов) (0,20604) = 659,31 футов = 659 футов 4 дюйма.

7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет
2102.5a — 1997.5a, что равно 5a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.

9. Угол = 1/3956 = 0.0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.

10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов. Следовательно, одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

14. a = l / r = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.

23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = l / a = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.

Насчет цифр точности.

Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах. Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это может ввести в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.

Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные равны 0 ° 17’48 «и 6,2935, с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Поэтому ответ должен быть дан только с точностью до 4 знаков, поскольку ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.

Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующей точностью, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.

Полный круг | История Сегодня

В школе мы учимся, что в круге 360 градусов, но откуда они взялись? Когда указывается, что вавилоняне считали по основанию 60, а не по основанию 10, как мы, люди часто спрашивают, есть ли связь. Краткий ответ: нет. Более длинный ответ касается вавилонской астрономии.

Как и другие древние народы, месопотамцы наблюдали изменение положения Солнца, Луны и пяти видимых планет (Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна) на фоне звезд на небе. До 2000 г. до н.э. писец из южного города Урук, говоря о фестивале богини Инанны, дал понять, что, будучи Венерой, она могла быть как утренней, так и вечерней звездой, в зависимости от того, появилась ли она до восхода или после захода солнца. Для них Венера была единым объектом, и они наблюдали его изменение положения вместе с другими планетами и луной. Все эти положения лежат на одной и той же большой окружности, называемой эклиптикой, определяемой видимым движением Солнца, наблюдаемым с Земли в течение года.Причина, по которой Луна и планеты находятся на эклиптике, заключается в том, что с точки зрения Земли плоскость Солнечной системы пересекается с небесным куполом по большому кругу, так что именно там все они появляются.

Для точной записи их движения необходимы две вещи: фиксированный календарь и метод записи положения на эклиптике. Календари — это сложно. Фазы луны формировали ритм в жизни всех древних культур, и для месопотамцев было естественным основывать свой календарь на месяцах, которые начинались вечером первого полумесяца на закате.При хорошей видимости лунный месяц длится 29 или 30 дней, и примерно к 500 г. до н.э. вавилоняне открыли схему определения начала каждого месяца. Здесь использовался 19-летний цикл: 19 лет — это почти точно 235 лунных месяцев, и схема работает на семи долгих годах (из 13 месяцев) и 12 коротких годах (из 12 месяцев). Это привело к фиксированному методу чередования длинных и коротких лет, который до сих пор используется в еврейском календаре и во всем христианском году, основанном на дате Пасхи.

Записи, которые помогли им открыть этот цикл, начались в середине восьмого века до нашей эры, когда вавилонские астрономы записывали ночные наблюдения в то, что мы теперь называем «астрономическими дневниками».Они продолжаются до конца клинописных исследований в первом веке нашей эры, давая восемьсот лет астрономических записей: потрясающее достижение, намного дольше, чем что-либо в Европе по сей день. Это способствовало большим достижениям, в частности открытию так называемых циклов Сароса для предсказания затмений. Каждый из них представляет собой цикл из 223 лунных месяцев, продолжающийся более 1000 лет. Действующие сегодня циклы Сароса впервые наблюдаются в восьмом и девятом веках. Они остаются основой для предсказания затмений и подробно публикуются на сайте НАСА.

Вавилонские астрономы использовали циклы Сароса к концу седьмого века до нашей эры. Им нужен был только лунный календарь, чтобы отслеживать их, но для более сложной работы с Луной и планетами им нужен был устойчивый, не лунный календарь. Поэтому они переняли старую идею административного календаря, которая использовалась когда-то в третьем тысячелетии: 12 месяцев по 30 дней в году, что составляет 360-дневный цикл. Этот «идеальный календарь» снова появляется во втором тысячелетии до нашей эры в Вавилонских Семи Скрижалях Творения, в которых говорится, что бог Мардук «установил по три звезды на двенадцать месяцев».Эти тройки звезд соответствовали 12 делениям эклиптики, по одному на каждый идеальный месяц из 30 дней, но это был идеализированный календарь, не используемый в повседневной жизни.

12 равных частей в году также применялись для дня от заката до заката, разделенного на 12 беру. Например, в «Эпосе о Гильгамеше», написанном во втором тысячелетии до нашей эры, наш герой мчится за солнцем в Книге IX, и нам рассказывают, как он прогрессирует на каждом беру, в конечном итоге выйдя вперед. Как и в идеальном месяце, беру был разделен на 30 равных частей, называемых уш, что давало 360 уш за 24-часовой период.Таким образом, по современным меркам, каждое длилось четыре минуты. Также использовались доли уш: например, в астрономических дневниках мы находим случай, когда первое появление луны было видно в течение 3 ¾ четверти уш (15 минут).

Точная запись времени была важна для этих дневников, равно как и положение Луны и планет. В пятом веке до нашей эры была разработана схема, которую можно было разбить на мелкие детали: эклиптика была разделена на 12 равных частей, каждая из которых была разделена на 30 более тонких частей (также называемых uš), что в сумме дало 360 uš. Для большей точности уш был разбит на 60 дивизий. Каждую из 12 секций они пометили созвездиями звезд, и, когда греки взяли результаты вавилонских исследований, они сохранили эти созвездия, но дали им греческие имена — Близнецы, Рак и Лев — большинство из которых имели те же значения, что и в Вавилонии.

По мере развития греческой геометрии возникла концепция угла как величины — например, сложение углов треугольника дает то же самое, что и два прямых угла, — но в стихах Евклида (ок.300 г. до н.э.) кроме прямого угла не существует единицы измерения. Затем, во втором веке до нашей эры, греческий астроном Гиппархос Родосский начал применять геометрию в вавилонской астрономии. Ему нужен был метод измерения углов, и он, естественно, последовал вавилонскому делению эклиптики на 360 градусов, таким же образом деля круг. Итак, хотя углы пришли от греков, 360 градусов пришли из вавилонской астрономии.

Марк Ронан — почетный профессор математики Университетского колледжа Лондона.

мягкий вопрос — Почему полный круг равен 360 °?

Как здесь было сказано — на Wonder Quest (ссылка на веб-архив):

Шумеры наблюдали Солнце, Луну и пять видимых планет.
(Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн), прежде всего для примет. Они
физически не пытался понять движения. Однако они сделали
обратите внимание на круговую траекторию годового пути Солнца по небу и
знал, что для завершения годичного цикла требуется около 360 дней.Следовательно, они разделили круговой путь на 360 градусов, чтобы отслеживать
каждый день прохождения всего пути Солнца. Это наверное случилось
около 2400 г. до н.э.

Вот так мы получили круг на 360 градусов. Около 1500 г. до н.э., египтяне
разделил день на 24 часа, хотя часы менялись в зависимости от
сезоны изначально. Греческие астрономы уравняли часы. Около 300
до 100 г. до н.э. вавилоняне делили час на дроби по основанию 60:
60 минут в часе и 60 секунд в минуте.База 60 их
Система счисления живет в наших временах и углах.

100-градусный круг имеет смысл для таких же людей, как мы.
Но вавилоняне из базы 60 пришли на 360 градусов, и мы цепляемся за
их пути — 4400 лет спустя.

Также есть обсуждение на математическом форуме:

В 1936 году примерно в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. Здесь один
следует сделать междометие, что шумеры были первыми, кто
о величайших изобретениях человека, а именно о письме; через письменный
общение, знания могут передаваться от одного человека к другому,
и от одного поколения к другому и будущим.2} $
(вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления, т.е.
база была 60, а не 10).

Вавилоняне, конечно, знали, что периметр шестиугольника
точно равна шести радиусам описанной окружности в
факт, что это, очевидно, причина, по которой они решили разделить круг
на 360 градусов (и мы все еще обременены этой цифрой до этого
день). Таблетка, таким образом, дает … $ \ pi = \ frac {25} {8} = 3,125 $.

Измерение углов — радианы, отрицательные углы, углы больше 360


Когда две линии пересекаются, они образуют четыре разных пространства относительно точки пересечения.
Создаваемые пространства называются углами.


На рисунке показаны 4 разных угла, образованных на пересечении двух прямых AB и CD.

Углы обычно измеряются в градусах, обозначаемых как °.
Когда объект проходит полный цикл, то есть из точки D через B, C, A и затем обратно в D, мы говорим, что он прошел 360 градусов (360 °).
Следовательно, степень — это $ \ frac {1} {360} $ цикла.

Мы обсуждали, что когда объект совершает один полный цикл вокруг точки, он покрывает 360 °, однако, когда объект совершает более одного цикла, он делает угол больше 360 градусов.Это обычное явление в повседневной жизни. Шина совершает множество циклов, когда отсюда едет транспортное средство; он составляет угол больше 360 °. {\ circ} = \ frac {20} {360} = \ frac {1} {18} $ циклы
Объект делает $ 1 \ frac {1} {18} $ циклы.{\ circ} = \ frac {260} {360} = \ frac {7} {9} $ циклов
Объект делает $ 2 \ frac {7} {9} $ циклов

На рисунке ниже показан знак угла, отсчитываемого от общей линии, линии 0 градусов

Когда объект вращается по часовой стрелке, он имеет отрицательный угол поворота, а когда он вращается против часовой стрелки, он образует положительный угол.
До сих пор в наших обсуждениях мы смотрели только на положительные стороны.

В форме диаграммы отрицательный угол может быть таким, как показано ниже.

Это означает, что при отрицательном угле мы можем получить соответствующий положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной линии составляет 270 °. При измерении в отрицательном направлении это будет -90 °. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Учитывая отрицательный угол, мы добавляем 360, чтобы получить соответствующий положительный угол.
Если угол равен -360 °, это означает, что объект совершил более одного цикла по часовой стрелке.

Пример 3
1. Найдите соответствующий положительный угол для
а) -35 °
б) -60 °
в) -180 °
г) — 670 °

2.Найдите соответствующий отрицательный угол в 80 °, 167 °, 330 ° и 1300 °.
Решение
1. Мы добавляем 360 к углу, чтобы получить соответствующий положительный угол.
а) -35 ° = 360 + (-35) = 360-35 = 325 °
б) -60 ° = 360 + (-60) = 360-60 = 300 °
в) -180 ° = 360 + ( -180) = 360 — 180 = 180 °
d) -670 ° = 360 + (-670) = -310
То есть один цикл по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50 °
Угол это 360 + 50 = 410 °

2. Мы вычитаем 360 из угла, чтобы получить соответствующий отрицательный угол.
80 ° = 80 — 360 = — 280 °
167 ° = 167 — 360 = -193 °
330 ° = 330 — 360 = -30 °
1300 ° = 1300 — 360 = 940 (выполняется один цикл)
940 — 360 = 580 (выполняется второй цикл)
580 — 360 = 220 (выполняется третий цикл)
220 — 360 = -140 °
Угол составляет -360 — 360 — 360 — 140 = -1220 °
Таким образом, 1300 ° = -1220 °

Радиан — это угол, образованный дугой в центре круга, равной длине радиуса этого конкретного круга.
Следовательно, это единица измерения угла.{\ circ} $

Радиус = r = OA = OB = AB
Угол BOA равен 1 радианам

Поскольку окружность задается радиусом $ 2 \ pi r $ или $ 2 \ pi $, следовательно, в одном полном цикле есть $ 2 \ pi $ радиан.

Радианы обычно задаются в виде $ \ pi $, чтобы избежать использования десятичных знаков при вычислениях. В большинстве книг сокращение ради
не предоставляется, но читатель должен знать, что когда речь идет об угле, который задается в терминах $ \ pi $,
единицы автоматически являются радианами.{\ circ} $
c) 1 рад = 57,3 °
$ 2,4 = \ frac {2,4 \ times 57,3} {1} = 137,52 $

Отрицательные углы и углы больше $ 2 \ pi $ радиан

Чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы добавляем к нему $ 2 \ pi $.
Чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $ 2 \ pi $.

Пример 5
1. Преобразуйте $ — \ frac {3} {4} \ pi $ и $ — \ frac {5} {7} \ pi $ в положительные углы в радианах.

Решение
Добавляем $ 2 \ pi $ к углу
$ — \ frac {3} {4} \ pi = — \ frac {3} {4} \ pi + 2 \ pi = \ frac {5} {4 } \ pi = 1 \ frac {1} {4} \ pi $
$ — \ frac {5} {7} \ pi = — \ frac {5} {7} \ pi + 2 \ pi = \ frac {9 } {7} \ pi = 1 \ frac {2} {7} \ pi $

Когда объект вращается на угол больше $ 2 \ pi $; это сделало бы более одного цикла.
Чтобы определить количество циклов такого угла, мы находим число, когда умножаем его на $ 2 \ pi $, результат равен или меньше, но ближе к числу.

Пример 6
1. Найдите количество циклов, сделанных, когда объект вращается на следующие углы
a) $ -10 \ pi $
b) $ 9 \ pi $
c) $ \ frac {7} {2} \ pi $

Решение
a) $ -10 \ pi = 5 (-2 \ pi) $; поскольку $ -2 \ pi $ подразумевает один цикл по часовой стрелке, это означает, что
объект совершил 5 циклов по часовой стрелке.

б) $ 9 \ pi = 4 (2 \ pi) + \ pi $, $ \ pi = $ полупериод
объект совершил четыре с половиной цикла в направлении против часовой стрелки.